1/9：講義の数学

固有値が実数であることの証明

まず、実対称行列 $A$ の固有値 $\lambda$ が必ず実数になることを示します。

$$A\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x} （\mathbf{x} \neq \mathbf{0}）$$

とする。この式の両辺の複素共役をとり、転置を施すと

$$\bar{\mathbf{x}}^T A^T = \bar{\lambda} \bar{\mathbf{x}}^T$$

となる。$A$ は実対称行列なので $A^T = A$。よって

$$\bar{\mathbf{x}}^T A = \bar{\lambda} \bar{\mathbf{x}}^T$$

となる。この式の右から $\mathbf{x}$ を掛けると、

$$\bar{\mathbf{x}}^T A \mathbf{x} = \bar{\lambda} \bar{\mathbf{x}}^T \mathbf{x}$$

一方で、元の定義式の左から $\bar{\mathbf{x}}^T$ を掛けると

$$\bar{\mathbf{x}}^T A \mathbf{x} = \lambda \bar{\mathbf{x}}^T \mathbf{x}$$

したがって、

$$\lambda (\bar{\mathbf{x}}^T \mathbf{x}) = \bar{\lambda} (\bar{\mathbf{x}}^T \mathbf{x})$$

$\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$ より $\bar{\mathbf{x}}^T \mathbf{x} = |\mathbf{x}|^2 > 0$ なので、$\lambda = \bar{\lambda}$。これにより、固有値 $\lambda$ は実数であることが証明されました。

実対称行列 $A$ が直行分解できる証明

行列のサイズ $n$ に関する数学的帰納法で証明します。

1. $n=1$ のとき

$1 \times 1$ の行列はそれ自体が対角行列であり、直交行列 $Q=[1]$ を用いれば常に成立します。

2. $n=k-1$ で成立すると仮定

$n=k$ を示す $k \times k$ の実対称行列 $A$ を考えます。

① 最初の固有ベクトルを取り出す$A$ は少なくとも1つの実数固有値 $\lambda_1$ を持ちます。それに対応する大きさが1の固有ベクトルを $\mathbf{q}_1$ とします（$A\mathbf{q}_1 = \lambda_1 \mathbf{q}_1$）。

② 直交基底の構成 $\mathbf{q}_1$ を含む $\mathbb{R}^k$ の正規直交基底 $\{\mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2, \dots, \mathbf{q}_k\}$ を作ります（シュミットの正規直交化法などを使用）。 これらを列ベクトルとする直交行列を $Q_1 = [\mathbf{q}_1 \ \mathbf{q}_2 \ \dots \ \mathbf{q}_k]$ とします。

③ 行列の相似変換（ブロック化）$Q_1^T A Q_1$ を計算すると、以下のようになります。

$$Q_1^T A Q_1 = \begin{pmatrix} \mathbf{q}_1^T \\ \mathbf{q}_2^T \\ \vdots \\ \mathbf{q}_k^T \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A\mathbf{q}_1 & A\mathbf{q}_2 & \dots & A\mathbf{q}_k \end{pmatrix}$$

ここで、第1列目に注目すると：

$$\begin{pmatrix} \mathbf{q}_1^T A \mathbf{q}_1 \\ \mathbf{q}_2^T A \mathbf{q}_1 \\ \vdots \\ \mathbf{q}_k^T A \mathbf{q}_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda_1 \mathbf{q}_1^T \mathbf{q}_1 \\ \lambda_1 \mathbf{q}_2^T \mathbf{q}_1 \\ \vdots \\ \lambda_1 \mathbf{q}_k^T \mathbf{q}_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}$$

（※正規直交性 $\mathbf{q}_i^T \mathbf{q}_j = \delta_{ij}$ を利用）

④ 対称性の維持と帰納法の適用$Q_1^T A Q_1$ も対称行列なので、第1行目も同様に $(\lambda_1, 0, \dots, 0)$ となります。したがって、$Q_1^T A Q_1 = \begin{pmatrix} \lambda_1 & \mathbf{0}^T \\ \mathbf{0} & A_{k-1} \end{pmatrix}$ここで $A_{k-1}$ は $(k-1) \times (k-1)$ の実対称行列です。帰納法の仮定により、$A_{k-1}$ は直交行列 $Q'$ を用いて $Q'^T A_{k-1} Q' = D_{k-1}$ と対角化できます。

⑤ 全体の直交行列の構成$Q_2 = \begin{pmatrix} 1 & \mathbf{0}^T \\ \mathbf{0} & Q' \end{pmatrix}$ とおくと、$Q_2$ も直交行列であり、$(Q_1 Q_2)^T A (Q_1 Q_2) = Q_2^T (Q_1^T A Q_1) Q_2 = \begin{pmatrix} \lambda_1 & \mathbf{0}^T \\ \mathbf{0} & D_{k-1} \end{pmatrix} = D$となります。$Q = Q_1 Q_2$ とおけば、これは直交行列の積なので直交行列です。

以上により、$A = QDQ^T$（または $Q^T A Q = D$）が全ての $n$ で成立することが示されました。